JUGANDO CON EL ÁLGEBRA

Monday, August 15, 2005

JUGANDO CON EL ÁLGEBRA



The Magic:

http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/gemafacto.htmro/gemafacto.htm

Temas que se necesitan para el juego

1.-Aplicación del Álgebra.

2.-División de polinomios:

2.1.- Caso general
2.2.- Aplicando el método de los coeficientes separados.
2.3.-Aplicando el método de Horner
2.4.- Método de Ruffini: casos
2.5.- Teorema del resto o Descartes

2.6.-Cocientes notables: Casos (Propiedades de los cocientes notables).

2.7.-Factorización:

Casos:

  • Factor común monomio
  • Factor común polinomio
  • Por agrupación de términos
  • Diferencia de cuadrados
  • Suma de cubos
  • Diferencia de cubos
  • Trinomios de segundo grado:

*Trinomio cuadrado perfecto
* Trinomio de la forma x2+bx+c: método del aspa
* Trinomio de la forma ax2+bx+c; (a¹1)

*Polinomio primo o irreductible

* Trinomio por suma y resta (Quita y Pon)
* Empleando aspa doble

3.-Empleando el método de los divisores binomios.

4.-Máximo común divisor
5.-Mínimo común múltiplo

Características de un buen juego

Programas para elaborar juegos

Materiales a utilizar.


Desarrollo
1. Aplicacion al Álgebra:

En la antigüedad, el Álgebra fue una parte inseparable de la Aritmética, más tarde se separó de ella. Ésta es la razón por la que en gran parte de la literatura científica a la hora de estudiar ambas ramas se hace de una manera conjunta.

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra.

El álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas.

Son muchas y muy diversas las actividades del ser humano en las que es suficiente usar procedimientos aritméticos para resolver problemas; sin embargo, son también muchas en las que éstos no bastan para la que utilizaremos el álgebra para resolver problemas.
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan.
2.1.-Caso general de división de polinomios:
Se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:

Con los polinomios dividendo y divisor ordenador de mayor a menor grado:
P r o c e d i m i e n t o:

1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente.
3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante.

4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente.

5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante.

6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores.

7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

MathType 5.0 Equation

En resumén: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.

Páginas de consulta:

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id80.htm

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/matematicas/ale2.htm

http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

http://html.rincondelvago.com/expresiones-algebraicas_monomios-y-polinomios_ecuaciones.html

2.2.-Para dividir un polinomio se deben tener en cuenta los siguientes:

  1. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio, separando los coeficientes parciales en sus propios signos.
  2. Se ordena los polinomios, generalmente en forma decreciente.
  3. Se escribe en línea horizontal uno a continuación de otro utilizando el signo de división aritmética.
  4. Se divide el primer término del dividendo, entre el primer termino del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.
  5. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo.
  6. Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtienen el segundo término del cociente.
  7. Se procede como en el pasa 4 y así sucesivamente hasta terminar la división.

*Método de los coeficientes separados:

Se trabajan solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor.

En el caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero, en el divisor.

De esta manera se obtiene los coeficientes con sus signos del polinomio cociente.

Para determinar el grado del cociente y resto se aplican las propiedades :

q° = D° - d

r° = d – 1

Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.


Ejemplo:

1 - 3 + 6 + 5 - 30

1 + 2 - 3

- 1 - 2 + 3

1 +5 +1

-5 + 9 +5

- 5 - 10 + 15

-1 + 20 – 30

- 1 - 2 + 3

18 - 27



http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#ESTUDIO

2.3.- División de polinomios por el método de Horner:

Este método es un caso particular del método de coefientes separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado.

Procedimiento :

  • Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo
  • Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.
  • El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cienote.
  • Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.
  • Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.
  • Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.
  • Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último termino del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.
  • Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.

Efectuar la división polinómica expresada por :

Solución :
Los grados del cociente y residuo serán :
q° = D° - d° = S – 2 = 3
r° = d° - 1 = 2 – 1 =
1

Procedimiento:

Columna

Cocientes del dividendo

12

- 4

+ 8


Fila

4

8

+ 14

+ 5

+16

+ 3

+ 2

Coeficiente que si se les cambia de signo

-1

-2

- 6

-3

- 3

- 9

+ 1

+ 3

- 2

- 6

2

3

- 1

2

4

- 4

Coeficiente del cociente

Coeficiente del resto

Explicación:


Se divide 8 entre 4, igual a 2, este resultado es el primer coeficiente del cociente
2 se multiplica por los términos del divisor, a los cuales se le cambió de signo ( -1; -3), dando como resultado : -2; -6 que se colocan en la fila corriendo un lugar hacia la derecha.


Se suma a la segunda columna ( correspondiente al dividendo) y el resultado se divide entre 4 igual a 3, este valor es el segundo coeficiente del cociente.
3, se multiplica por ( -1; - 3) y da la tercera fila : -3 ; - 9, corriendo un lugar hacia la derecha.


Se suma la tercera columna, da – 4, se divide entre 4, da – 1; este resultado es el tercer coeficiente del cociente.


-1, se multiplica por ( -1; -3) y da la fila : +1; +3, corriendo un lugar a la derecha.
Se suma la cuarta columna, da +8, se divide entre 4, da 2, este resultado es el cuarto coeficiente del cociente.


2, se multiplica por ( -1) y (-3) y da la fila : -2 y -6
como el último término de este producto queda debajo del último coeficiente del dividendo 2, se separa con una línea los términos obtenidos los cuales pertenecen al cociente.


Se reducen las siguientes columnas, da 4 y -4 y se baja directamente, y se bajan directamente y vienen a ser los coeficientes del resto.
Entonces : Q(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 ( cociente obtenido)
R(x) = 4x – 4 ( residuo obtenido)

Fuentes de consulta:

http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#ESTUDIO

2.4.-División de polinomios con el método ruffini:

a.- Método de Ruffini: casos

El caso más importante de la división de polinomios es el que tiene por divisor un binomio del tipo x - a, siendo "a" un número entero; por ejemplo (x - 1), (x + 2).Para lo cual podemos emplear “el método de ruffini”.

La regla de Ruffini se utiliza fundamentalmente cuando el polinomio dividendo tiene como única letra (variable) la x y el ya citado divisor (x - a). Utiliza los coeficientes del dividendo y el valor de "a", obteniéndose los coeficientes del polinomio cociente y el valor del resto (obsérvese que el resto siempre será un número), disponiéndose en la forma que se muestra en la escena siguiente que presenta la división:

El proceso que se sigue es el siguiente:

Ø Se "baja" el primer coeficiente del dividendo.

Ø Se multiplica "a" por el coeficiente bajado y se coloca el resultado debajo del segundo coeficiente (el signo de a será positivo si el divisor es del tipo (x-a) y negativo si el divisor es del tipo (x+a).

Ø Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior.

Ø Se continúa el proceso hasta terminar con los coeficientes.



Los números de la fila inferior obtenida son los coeficientes del cociente (de un grado menor al dividendo) excepto el último número que es el valor del resto.

Se estudian 3 casos:

a.- Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

Su forma general: x ± b.



Se opera así:

a) Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;

b) Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo;

c) Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo.

d) Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.

b.- Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

Su forma general es: ax ± b

Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor, es decir:

( ax ± b) = a (a ± b/a)

  • Se divide entre (x ± b/a), como en el primer caso.
  • Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del divisor.
  • El resto obtenido no sufre alteración.

c.- Cuando el divisor es de la forma: axn + b

En este caso para que la división se pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor.

Fuentes de consulta:

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom2.htm#ruffini

http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/16_EA_Division_polinomios_b.pdf

http://edulat.com/diversificado/matematicas/temas_consulta/1_8.htm

http://suanzes.iespana.es/suanzes/ruffini.htm

2.5.- Teorema de resto o descartes:

El resto de una división de un polinomio en "x" por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo para "x" igual al opuesto de "a".

Sea P(x)

Î R[x] y a Î

R. El valor

numérico de P(x) en x = a es igual al

resto de la división de P(x) por x – a.

Demostración:

Al dividir P(x) por (x – a) obtenemos un polinomio cociente c(x) y un polinomio resto de grado cero, o bien r(x) = Op(x).

Tenemos entonces la relación

P(x) = (x – a) c(x) + r con r ³ 0

Determinemos ahora el valor del polinomio para x = a.

P(a) = (a – a) c(a) + r = r

Entonces resulta P(a) = r que es lo que queríamos demostrar.

Nota1: un polinomio entero y racional es de la forma:
Nota2: Si en el divisor, el coeficiente de x es 1, esto es, si b = 1, el residuo se obtiene, simplemente, sustituyendo, en el polinomio, la x por a.

Se obtiene

si P(x) = 3x4 - 5x2 + 3x – 20 para x = 2 se obtiene:
P(2) = 3. 24 – 5. 22 + 3. 2 – 20 = 14

Ejemplo:

Fuentes de consulta:

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom2.htm

http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/16_EA_Division_polinomios_b.pdf

http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id100.htm

2.6.- Cocientes Notables:

Existirán algunos casos en los cuales podemos dividir dos polinomios fácilmente pues sus respuestas son conocidas:

Criterio 1: La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:
En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un número par o impar.

Criterio 2: La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades.

Y, la forma general de su solución está dada por:

En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par.

Criterio 3: La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:

En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número impar.

Criterio 4:

A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma:

= Donde m es par no son exactos.



B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma:

= Donde m es par no son exactos.

:

Nota: Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id95.htm

http://www.upes.edu.sv/curso%20prepaes/matematica/ejercicios%20resueltos/PRODUCTOS%20Y%20COCIENTES%20NOTABLES.pdf
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id95.htm
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#cocientes

2.7.- Factorización.

**Factor común monomio:

Este método busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio. Este factor resultara ser un monomio, mismo que debemos encontrar.
Dado un polinomio cuales quiera, lo primero que tendremos que hacer para hallar el Factor Común Monomio será encontrar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de la parte numérica de todos los términos.

--Ejemplo:

Dado un polinomio cualquiera, lo primero que tendremos que hacer para hallar el Factor Común Monomio será encontrar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de la parte numérica de todos los términos.


Dado el siguiente polinomio:8x4 -4x2y + 16x5y2

Hallaremos el M.C.D. de la parte numérica: 8x4 -4x2y + 16x5y2.

Entonces el M.C.D. de 8, 4 y 16 es: 4 (este numero será la parte numérica del monomio que busco)


Ahora observo mi polinomio:8x4 -4x2y + 16x5y2 .

Me doy cuenta que la letra x se repite en los tres términos, entonces buscare la que tenga menor exponente, misma que resulta ser x2 (la tomo como parte literal del monomio que busco)


Como no hay otra letra que se repita en todos los términos, empiezo a construir mi monomio.Recuerdo que la parte numérica era 4 y la parte literal era x2 , entonces será: 4x2
El monomio que he encontrado dividirá a todos y cada uno de los términos del polinomio, así:

8x4 ÷ 4x2 = 2x2
-4x2y ÷ 4x2 = -y
16x5y2 ÷ 4x2 = 4x3y2
Construimos el polinomio: (2x2 -y +4x3y2)

Ahora presentamos el monomio por el polinomio:

: 4x2(2x2 -y +4x3y2)

**Factor común polinomio:

En este caso también se busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio, pero ahora este factor será otro polinomio.

**Factorización por agrupación de términos:

En la factorización por agrupación de términos hacemos una mezcla de las anteriores técnicas de factorización.
Dado un polinomio cualesquiera debemos primero formar grupos de términos con características comunes (de preferencia de dos términos cada grupo) y a cada uno de estos grupos le sacaremos el Factor Común Monomio.

Ejemplo:

5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)

Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x2 + 3x +7)

Finalmente la respuesta será: (x -y)(5x2 + 3x +7)

En algunos casos debemos "jugar" con el numero 1, por ejemplo en: 5a2(3 +b) +3 +b
Que yo puedo escribirlo como: 5a2(3 +b) +1(3 +b)

Entonces la respuesta seria: (3 +b) (5a2 +1)

**Diferencias de cuadrados:

Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza así:

Procedimiento:

1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.

2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)

3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases.

Ejemplo:

**Suma de cubos:

Para desarrollarlos debemos tener encuenta lo siguiente:

  • La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

**Diferencia de cubos:

  • La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
  • **Trinomio cuadrado perfecto:

    Ya sabes que un trinomio es un polinomio que consta de tres términos algebraicos. Conoces también que factorizar una expresión algebraica significa escribirla en forma equivalente mediante el producto de otras expresiones más sencillas. Pero, ¿qué es un cuadrado perfecto? Se llama cuadrado perfecto por tener raíz exacta.

    De la misma manera un término o cualquier expresión algebraica formará un cuadrado perfecto cuando tenga raíz exacta.

    Nota: “Entonces, para que un trinomio sea cuadrado perfecto se requerirá que tenga raíz exacta y, por tanto, debe poder representarse como el cuadrado de otra expresión algebraica”.

    Por otra parte, recordemos que al desarrollar el cuadrado de un binomio obtenemos un trinomio.

    Si aplicamos la propiedad de identidad y tratamos de calcular la raíz del trinomio obtendremos lo siguiente:

    Lo anterior significa que para extraer la raíz de un trinomio necesitamos expresarlo como el cuadrado de un binomio, es decir, escribirlo en forma equivalente mediante, el producto de un binomio por sí mismo.

    Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio, cuyos términos corresponden a los dos cuadrados del trinomio.

    **Trinomio de la forma ax2+bx+c; (a¹1)

    Como podrás observar, éstos no corresponden a trinomios cuadrados perfectos, y su diferencia con los trinomios vistos en el caso anterior es que los coeficientes del término cuadrático tienen un valor distinto de uno. Por tal motivo su método de factorización es diferente.

    - Multiplicamos el coeficiente del término de segundo grado por el término

    - El producto obtenido lo descomponemos en factores de tal manera que la suma de éstos sea igual al coeficiente del término de primer grado.

    - Sustituimos, en el trinomio dado, el coeficiente del término de primer grado por la suma de los factores y le aplicamos al propiedad distributiva.

    - Al polinomio obtenido lo factorizamos aplicando el método de factorización por agrupación de términos, con el cual se concluye la factorización del trinomio.

    **Polinomio primo o irreductible:

    ES aquel polinomio irreductible o no factorizable cuyo coeficiente principal es 1. “Si un polinomio se expresa como el producto de sus factores primos, entonces se dice que el polinomio esta completamente factorizado”.

    **Trinomio por suma y resta (Quita y Pon):

    P r o c e d i m i e n t o
    1. Se ordena el trinomio.
    2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos.
    3. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior.
    4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo
    término del trinomio.
    5. Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el segundo
    término del trinomio cuadrado perfecto.
    6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso
    anterior, para que el valor de la expresión no se altere.

    Ejemplo:

    Fuentes de consulta:

    http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra4.htm#monomio

    http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm

    http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/natalia/Latex/node8.html

    http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/natalia/Latex/node13.html

    http://www.conevyt.org.mx/bachilleres/material_bachilleres/cb6/mate1/mat_1_fasc_2.pdf http://html.rincondelvago.com/factorizacion_3.html http://luppos.com.ar/cnu/MATEMATICA_1PM/tpn5_polinomios_ejercicios_de_unpt.doc

    http://dc.inictel.gob.pe/proyectoteleed/curso-mat/fact-comun/pagina2fc.htm

    http://dc.inictel.gob.pe/proyectoteleed/curso-mat/fact-comun/pagina3fc.htm

    http://www.upes.edu.sv/curso%20prepaes/matematica/ejercicios%20resueltos/DESCOMPOSICIÓN%20FACTORIAL.pdf

    Factorizacíon por el método del Aspa:

    Método del aspa:

    Se descompone el primer término en dos factores. Des cada factor sale una flecha y forma un aspa.

    Se descompone el término independiente en dos factores, para determinar el signo de dichos factores basta en fijarse en el signo del segundo termino. Si es positivo los factores binomios son sumados .Ahora si el signo es negativo los factores binomios serán uno positivo y el otro negativo.

    Por ultimo se multiplican los factores obtenidos como indican las flechas. Si esta suma es igual al segundo termino, entonces termina la factorización y los factores que corresponden al trinomio son los binomios considerados horizontalmente.

    3.-Empleando el método de los divisores binomios:

    Sea el polinomio

    x3 + 3x2 - x - 3,


    que se supone resulta de multiplicar entre sí varios factores binomios de la forma x ± a , x ±b , x ± c , etc.

    Los valores que se pueden atribuir a los segundos términos de los binomios divisores, son ±1 y ±3, pues estos números son los únicos que dividen exactamente el último término del polinomio propuesto.

    Ensayando los diferentes divisores posibles: x + 1, x - 1, x + 3 y x - 3, se tiene:
    P(-1) = - 1 + 3 + 1 - 3 =0,
    P(1) = 1 + 3 - 1 - 3 = 0,
    P(-3) = - 27 + 27 + 3 - 3 =0,
    P(3) = 27 + 27 - 3 - 3 = 48.

    De donde se deduce que el polinomio es divisible entre x + 1, x - 1 y x + 3, pero no lo es entre x - 3; por consiguiente:
    x3 + 3x2 - x - 3 = (x + 1)(x - 1)(x + 3)

    Ejemplo:

    Factorizar el polinomio
    Sea el polinomio:
    x3 - 10x2 + 23x - 14.

    Los divisores de -14 son: ± 1, ± 2, ± 7, ± 14.

    Los divisores binomios que hay que comprobar son:
    x + 1, x - 1, x + 2, x - 2, x + 7, x - 7, x + 14, x - 14.

    P(-1) = - 1 - 10 - 23 - 14 = - 48,
    P(1) = 1 - 10 + 23 - 14 = 0,
    P(-2) = - 8 - 40 - 46 - 14 = - 108,
    P(2) = 8 - 40 + 46 - 14 = 0,
    P(-7) = - 343 - 490 - 161 - 14 = - 1008,
    P(7) = 343 - 490 + 161 - 14 = 0,
    P(-14) = - 2744 - 1960 - 322 - 14 = - 5040,
    P(14) = 2744 - 1960 + 322 - 14 = 1092.

    La factorización es, pues, como sigue:
    x3 - 10x2 + 23x - 14 = (x - 1)(x - 2)(x - 7).


    http://www.galeon.com/student_star/factor03.html

    http://html.rincondelvago.com/factorizacion_3.html

    4.-Máximo común divisor:

    De un conjunto de números dados corresponde al mayor número natural que los divide simultáneamente, con residuo cero.

    Para hallar el mcd de un conjunto determinado de números, estos se dividen simultáneamente por los diferentes números primos (tomados en orden ascendente, y deshechando los números primos por los cuales no se pueda hacer la división con residuo cero de todos los números de la fila) según el arreglo mostrado a continuación. El proceso termina, cuando los números que aparecen en la fila inmediatamente inferior a la última división simultánea, no pueden dividirse simultánamente por algún número primo. El mcd buscado es el producto de los números primos que aparecen a la derecha.

    4.1.-Máximo común divisor de polinomios por descomposición en factores
    Procedimiento

    1. Se factoriza cada polinomio
    2. Se identifican los factores comunes
    3. El m.c.d. será el producto de los factores comunes

    4.2.-Máximo común divisor de dos polinomios por divisiones sucesivas
    Procedimiento:

    1. Se ordenan los polinomios con relación a una misma letra
    2. Si es posible, se factorizan los polinomios; los factores comunes a ambos polinomios harán parte del m.c.d.
    3. Se divide el polinomio de mayor grado entre el de menor grado
    4. Si la división es exacta, el divisor es el m.c.d.
    5. Si la división no es exacta, se divide el divisor por el primer residuo, éste por el segundo residuo y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta
    6. El último divisor es el m.c.d. buscado
    Nota1: todas las divisiones deben continuarse hasta que el primer término del residuo se de grado inferior al primer término del divisor
    Nota2: durante el proceso, se puede dividir o multiplicar el dividendo, o el divisor o el residuo por un factor cualquiera.
    Nota3: la simbología para denotar el m.c.d., k, de los números a, b, ... es la siguiente:
    (a, b, ...) = k.

    4.3.-Máximo común divisor de tres o más polinomios por divisiones sucesivas
    Procedimiento

    1. Se halla, por divisiones sucesivas, el m.c.d. de dos de los polinomios dados
    2. Hallamos, por divisiones sucesivas, el m.c.d. del tercer polinomio y el m.c.d. hallado en el paso anterior; éste será el m.c.d. de los tres polinomios.
    Para hallar, por divisiones sucesivas, el m.c.d. entre dos polinomios, se procede de la siguiente manera:
    a. Se ordenan los polinomios con relación a una misma letra
    b. Si es posible, se factorizan los polinomios; los factores comunes a ambos polinomios harán parte del m.c.d.
    c. Se divide el polinomio de mayor grado entre el de menor grado
    d. Si la división es exacta, el divisor es el m.c.d.
    e. Si la división no es exacta, se divide el divisor por el primer residuo, éste por el segundo residuo y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta
    f. El último divisor es el m.c.d. buscado
    Nota1: todas las divisiones deben continuarse hasta que el primer término del residuo se de grado inferior al primer término del divisor
    Nota2: durante el proceso, se puede dividir o multiplicar el dividendo, o el divisor o el residuo por un factor cualquiera.
    Nota3: la simbología para denotar el m.c.d., k, de los números (polinomios) a, b, ... es la siguiente:
    (a, b, ...) = k.

    5.-Mínimo común múltiplo: (M.C.M. de polinomios)

    Encontrar el mínimo común múltiplo es útil para poder hacer ciertas operaciones con fracciones algebraicas. El procedimiento es similar al usado para realizar estas operaciones con fracciones ordinarias en aritmética. Para poder combinar dos o más fracciones, los denominadores deben ser iguales; la forma más directa de obtener un denominador común es multiplicar todos los denominadores entre sí. Por ejemplo:

    P r o c e d i m i e n t o:

    1. Se halla el M.C.M. de los coeficientes numéricos

    2. Se factorizan los polinomios

    2. El M.C.M. se calcula mediante el producto de los factores primos, comunes y no comunes, y con su mayor exponente.

    Ejemplo:

    Fuentes de consulta:

    http://www.sanmartin.edu.co/academicos/distancia/sistemas/matcero/capitulo4.htm

    http://pixel8media.com/clients/CONEVyt/www/pre_algebra_overview.asp

    http://usuarios.lycos.es/calculo21/id154.htm

    http://usuarios.lycos.es/calculo21/id151.htm

    http://usuarios.lycos.es/calculo21/id151.htm

    http://usuarios.lycos.es/calculo21/id149.htm